[Information] Lineare Gleichungssysteme

Gamma-Ray

Gamma-Ray

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Lineare Gleichungssysteme

Meine Tochter macht jetzt ihre Prüfungen für ein Fachabi.

Da sind Rechenaufgaben, die noch Probleme machen. :cry:

Vielleicht könnt ihr eine Lösung finden? ;)

Aufgabe 1: Von einer Parabel zweiten Grades sind die Punkte P(-1/5), Q(1/-3) und R(2/-1) bekannt.
Wie lautet die Funktionsgleichung?

Aufgabe 2: Eine Parabel 3.Ordnung hat in P(1/9) eine zur x-Achse parallele Tangente und in W(3/1)
einen Wendepunkt.
Bestimme die Funktionsgleichung

Wäre nett, wenn uns :angel das mal jemand erklärt.

:)
 
Oh je, daran erinnerre ich mich nur noch in Grundzügen :D

Aber es geht im Prinzip so:

Eine Parabel der zweiten Ordnung ist AFAIR eine Funktion der Form

y = ax² + bx + c

Da muss man jetzt die drei gegebenen Werte einsetzen. Damit erhält man ein Gleichungssystem, dass auf verschiedene Art und weise gelöst werden kann, z.B. mit einer Matrix.

Aber dazu müsste man wissen, wie sie es gelernt hat.

Die zweite Aufgabe funktioniert anders:

Wenn in einem Punkt die Tangente paralles zur X - Achse ist, heißt das, das die Steigung null ist.
Damit ist auch die erste Ableitung Null am Punkt (1/9).

Bei einem Wendepunkt W(3/1) ist die zweite Ableitung null.
Man muss also die Funktion

y = ax³ + bx² + cx +d zwei mal ableiten.

Dann hat man bei f''(x) das Wertpaar (0/3)
Für f'(x) das Wertpaar (0/1)

Aus der Gleichung für die zweite Ableitung sollte man eine Wert ablesen können (für a), dann mit diesem Wert und dem Wertepaar für f' den Wert für b.
Dann hat man eine Gleichung mit zwei weitern unbekannten, die sich wie oben lösen lassen sollte.

So in etwa müsst es gehen, aber ohne Garantie, das ist bei mir jetzt auch schon 5 Jahre her (verdammt, ich werde alt...)
 
Erst mal vielen herzlichen Dank @Bio für deine Mühe.

hug.gif


Ich hoffe, wir haben dir den Sonntag damit nicht versaubeutelt. ;)

:)
 
nochmal ausführlich: :angel

ich hoffe, ich hab' mich nicht verrechnet - notfalls nochmal mit Excel überprüfen!

Aufgabe1:

Parabel zweiten Grades Grundform: f(x) = ax² + bx + c
=> einsetzen der 3 gegebenene Punkte (P(-1/5), Q(1/-3) und R(2/-1)) in Grundform

f(-1) = a(-1)² + b(-1) + c = 5 -> vereinfacht: 5 = a - b + c
f(1) = a(1)² + b(1) + c = -3 -> vereinfacht: -3 = a + b + c
f(2) = a(2)² + b(2) + c = -1 -> vereinfacht: -1 = 4a + 2b + c

lineares Gleichungssystem lösen nach Gauß oder Einsetzungsverfahren
3 Gleichungen, 3 Unbekannte
5 = a - b + c
-3 = a + b + c
-1 = 4a + 2b + c

die Gaußschritte spar' ich mir mal - würde den Rahmen sprengen
...........

Lösung: a=2 b=-4 c=-1

=> Funktionsgleichung: f(x) = 2x² - 4x -1

Setzt man die gegebenen Punkte in die Funktionsgleichung ein,
kann man das Ergebnis überprüfen z.B. Punkt R f(2)=2*(2)²-4*2-1 = -1 -> stimmt


Aufgabe 2:

Parabel dritten Grades Grundform: f(x) = ax³ + bx² + cx + d
Ableitungen der Grundform: f'(x) = 3ax² + 2bx + c ; f''(x) = 6ax + 2b
Einsetzen der gegebenen Punkte (P(1/9) und W(3/1)) in die Grundform

f(1) = a(1)³ + b(1)² + c(1) + d = 9 -> vereinfacht: 9 = a + b + c + d
f(3) = a(3)³ + b(3)² + c(3) + d = 1 -> vereinfacht: 1 = 27a + 9b + 3c + d

P(1/9) eine zur x-Achse parallele Tangente heisst: lokales Maximum an der Stelle x=1
lokale Maxima berechnet man indem man die erste Ableitung Null setzt: f'(x) = 0
=> f'(1) = 3a(1)² + 2b(1) + c = 0 -> vereinfacht: 0 = 3a + 2b + c

W(3/1) ist ein Wendepunkt
Wendepunkte berechnet indem amn die zweite Ableitung Null setzt: f''(x) = 0
=> f''(3) = 6a(3) + 2b = 0 -> vereinfacht: 0 = 18a + 2b

lineares Gleichungssystem lösen nach Gauß oder Einsetzungsverfahren
4 Gleichungen, 4 Unbekannte

9 = a + b + c + d
1 = 27a + 9b + 3c + d
0 = 3a + 2b + c
0 = 18a + 2b

die Gaußschritte spar' ich mir wieder
...........

Lösung: a=1/2 b=-9/2 c=15/2 und d=11/2

=> Funktionsgleichung: f(x) = 1/2x³ - 9/2x² + 15/2x + 11/2


Um die Gaußschritt noch zu bekommen die rotmarkierten Gleichungssysteme
einfach in den folgenden Gaußlöser einsetzen
http://home.t-online.de/home/arndt.bruenner/mathe/scripts/gleichungssysteme.htm
 
Ich hätte gern geholfen aber meine Abiprüfung im Fach Mathe (3. Prüfungsfach) endete zeitlich nach dem Verzehr einer Packung Gummibärchen und einer Flasche Cola und vom Ergebnis her mit einem von 15 möglichen Punkten Thema? Siehe oben....:ROFLMAO:
 
Ich weiß genau, das ich das mal gekonnt habe, erstaunlicherweise war ich in Mathe früher mal gar nicht so schlecht.
Aber ich habe solche linearen Gleichungssysteme nie mehr in meinem Leben gebraucht und fast alles dazu gehörige inzwischen so erfolgreich verdrängt das die Aufgaben genauso gut in altägyptischen Hieroglyphen geschrieben sein könnten.
 
Ja das kann ich nur unterstreichen, dass mit zunehmenden Alter bei solchen mathematischen Anforderungen ein gewißer Verdrängungsprozeß einsetzt.
Wie gut, dass die jungen Wilden es voll drauf haben! (y)
 
Original geschrieben von ToSo

P(1/9) eine zur x-Achse parallele Tangente heisst: lokales Maximum an der Stelle x=1
lokale Maxima berechnet man indem man die erste Ableitung Null setzt: f'(x) = 0
=> f'(1) = 3a(1)² + 2b(1) + c = 0 -> vereinfacht: 0 = 3a + 2b + c
Zum Vergrößern anklicken....

<klugscheiß>
Es kann auch ein lokales Minimum oder ein Sattelpunkt sein.
Bei einem Sattelpunkt währe der Punkt aber außer dem noch zusätzlich ein Wendepunkt und damit auch f''(1) = 0.
</klugscheiß>
 
Original geschrieben von Bio-logisch
<klugscheiß>
Es kann auch ein lokales Minimum oder ein Sattelpunkt sein.
Bei einem Sattelpunkt währe der Punkt aber außer dem noch zusätzlich ein Wendepunkt und damit auch f''(1) = 0.
</klugscheiß>
Zum Vergrößern anklicken....
Genau, das wollte ich auch gerade schreiben. :ROFLMAO:
Aber Du warst schneller.
 
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