Vier Dörfer verbinden

[Kaept´n Hook]

Hallo Forum,
ich habe folgende Aufgabe gefunden und weiß die Lösung nicht.
Vier Dörfer sollen durch Strassen verbunden werde, so dass man von jedem Dorf aus ein anderes erreichen kann (die Wege dürfen sich kreuzen). Die Dörfer liegen wie in der Abbildung gezeigt. Der Abstand zwischen den Dörfern beträgt der Einfachheit halber eine Maßeinheit. In der Abbildung sind vier mögliche Lösung gezeigt, natürlich ist die kürzeste Entfernung gefragt.
Nun soll es eine Gesamtlänge der Wege "deutlich" kleiner als 2,8 Einheiten geben. Ich finde sie aber nicht ...
Seit Tagen zermartere ich mir das Gehirn - weiß jemand eine Lösung?

 

[Blackthorne]

Hi,

ich habe auf jeden Fall schon einmal eine Lösung, die Kleiner ist als 2,8.

Ich versuche mal, sie zu beschreiben, da ich eine Zeichnung hier nicht hinbekomme.

Ich habe die Lösung unten links, die wie ein gekipptes "H" aussieht, etwas optimiert. Wenn der Quersteg des "H", die ja die Länge 1 hat, an beiden Seiten um 0,25 nach innen gezogen wird, beträgt die Länge der dadurch entstehenden Schrägen

x = Wurzel aus (0,5 Quadrat + 0,25 Quadrat) = 0,559, die verbleibende Steglänge ist gleich 1-2*0,25 = 0,5.

x gibt es in der Figur 4*, d.h. die Gesamtlänge ist 4*0,559 + 0,5 = 2,736.

q.e.d.

 

[Brummelchen]

Vereinfacht gesagt - du hast das Optimum zwischen Lösung 3 und 4 gesucht,
da (3) die maximale Zwischenlänge ist und (4) die kürzeste.

Das liesse sich auch mathematisch erfassen:

Die Strecke AB = 1-2*x , wenn x der Abstand von 0 ab ist, da symmetrisch 2*

Die anderen 4 Strecken 1A, 2A, 3B, 4B sind alle gleich lang = SQR[(0.5²+x²)]

y= 4*SQR[(0.5²+x²)]+(1-2*x)
y= 4*SQR[(0.25+x²)]+1-2x

Das wäre der folgende Graph, der sogar ein Minimum hat bei ~0.28 hat,
ähnlich der Abbbildung.

Die Differentialrechnung wird dir den genauen Wert sagen.
(siehe Bild 3)

Ich bin heute irgendwie zu dumm dafür, Graphmatica sagt mir aber:
y' = 4x/SQR(x²+0.25) -2 (Produkt- und Kettenregel wohl)

Umgestellt nach 0 = 4x/SQR(x²+0.25) -2
ergibt x= 12^(-0.5) , also x=1/sqr(12) ~0.288675
-> y=2.732 als minimale Gesamtstrecke

-> Die Zwischenlänge wäre also 1-2*0.288675 = 0.42265
und die anderen Strecken jeweils 0.57735

HTH

 

[chmul]

ot:
Als Matheniete und Klugscheißer nur so viel: Von minimal gibt es keine Steigerung!

 

[Blackthorne]

Vereinfacht gesagt

Na, ob du das aber damit einfacher gesagt hast ???

 

[Brummelchen]

ot: geschenkt, pell dir nen ei drauf
(ich schieb die schuld an firefox 2 weiter .p)

Wenn du mir nicht den Tip in diese Richtung gegeben hättest...

ot2: für mich ein angenehmer zeitvertreib, was anderes als bits&bytes
ich wünschte, mir hätte damals jemand geholfen - in deutsch

So als Joke - wie wäre es mit einem optimalen Kreisverkehr mit 4 Stichstrassen?
(Lösung - gibt keine bzw r=0)

Zusatz - statt Kreisverkehr ein Viereck (Carre) -> auch Null, egal ob normal oder als Raute.
Von den drei Varianten ist aber der Kreis minimal idealer als das Viereck
(die Null-Lösung hat bei allen immer Wurzel (8) ~2.828)

So insgesamt betrachtet - ein Schnittpunkt hat nur eine eindeutige Lösung -> X
Bei zwei Punkten wäre eine Vektoranalyse interessant (stichprobenartig), nur wie
könnte man das darstellen: 4-Vektoren-Raum?

 

[chmul]

ot:
Du willst mich provzieren, oder? Aber gut, wenn's denn sein soll:

Als Matheniete und Klugscheißer nur so viel: Von ideal gibt es keine Steigerung!

 

[Brummelchen]

Ich nehm das "oder" - sind wir nicht alle ein wenig Bluna? :ätsch