Mathe (Vektoren) - ich verzweifel!

sanmaus

assimiliert
Hallo zusammen!

Im Studium nehmen wir grad Vektoren durch. Kein Problem. Ich kann bisher alles berechnen (ob mit Zahlen oder Veriablen - ganz egal), nur mit einem Aufgabentyp hab ich Probleme und verzweifel schier.

Aufgabe: Das Dreieck ABC hat die Punkte A(6/-1/0), B(-2/6/4), C(1/1/-1). Gesucht sind die Koordinaten des Schwerpunktes S.

Wir haben in der Vorlesung das Gleiche gemacht ohne Zahlen. Da war alles recht logisch. Daheim hab ich eine ähnliche Aufgabe mit anderen Verhältnissen gerechnet und ich kam nie auf die angegebene Lösung. Da bin ich schon verzweifelt. :(

Hier mit Zahlen gehts mir genauso. Ich kann auf die unterschiedlichsten Wege rechnen und krieg immer unterschiedliche Lösungen raus.

Ich will jetzt nicht einfach eine Musterlösung, sondern am besten eine detaillierte Anleitung, wie ich vorgehen muss, sonst blick ich das nie!! :cry:

Ich wäre euch sehr verbunden, wenn ihr mir helft!
 
B

Brummelchen

Gast
ähm, Bio - sanmaus redet da von dreidimensionalen Dreiecken...
Das ist zwar ähnlich, aber anders, weil Z mit dabei ist.

Das hier dürfte es treffen:

Schwerpunkt einer Menge von Punkten
http://www.mathe-online.at/mathint/vect1/i.html#Schwerpunkt

Deine Lösung stimmt trotzdem, sie ist nur anders geschrieben

Code:
   1   /x1 + x2 + x3\
S= - * |y1 + y2 + y3|
   3   \z1 + z2 + z3/

Allgemein
Code:
   1
S= - * ∑ Vektoren (1..n)
   n
 
Zuletzt bearbeitet:

sanmaus

assimiliert
Danke, Brummelchen, aber ich suche keine Formel. Das passt zufällig in dem Fall, aber wir müssen ja auch andere Punkte berechnen, die kein Schwerpunkt sind.

Also, ich hab mal angesetzt mit einem Nullvektor.

Also: AS+SC+CA=0 (Nullvektor)

Ich könnte aber auch sagen: AS=AB+BM(c)+M(c)S
wobei M(c) der Mittelpunkt der Strecke c sein soll.

Ich könnte aber auch sagen: AS=2/3AM(c)

Aber wenn ich das alles runterrechne, komm ich auf die unterschiedlichsten Ergebnisse.
 

Bio-logisch

Moderator
Teammitglied
Vektorrechnung ist lange her, aber der Schwerpunkt ist der Schnittpunkt aus drei Geraden:

Gerade 1: Mittelpunkt zwischen A und B rüber zu C
Gerade 2: Mittelpunkt zwischen B und C rüber zu A
Gerade 3: Mittelpunkt zwischen C und A rüber zu B

Ich würde dann zwei Gleichungen aufstellen und die gleichsetzen:
Dann müßte dann eine Lösung herauskommen.
 
B

Brummelchen

Gast
Der Schwerpunkt ist ein klar definierter Punkt einer Punktmenge.
Wenn du andere Punkte berechnen willst, haben die andere Vorgaben,
dürfen sich aber nicht mehr Schwerpunkt nennen.

Die Lösung bei dir lautet nun mal:
Code:
/1 2/3 \ (1.667)
|2     |
\1     /
 

sanmaus

assimiliert
Ja, und der Schwerpunkt teilt die Seitenhalbierenden im Verhältnis 2:1, wobei die 2/3 am Eckpunkt liegen.

Berechnen wir mal ganz einfach den Mittelpunkt zwischen B und C. Das is doch M(c)=(-2/6/4)-(1/1/-1) = (-3/5/5)

Die Gerade AM(a) = (6/-1/0) + r [(-3/5/5)-(6/-1/0)] = (6/-1/0) + r (-9/6/5)

und davon brauch ich 2/3, dann müsste das S sein.
Was mach ich in dem Fall mit "r"??

Klar, wenn ich noch BM(b) ausrechne, hab ich den Schnittpunkt.

Aber wenn ich z.b. S gegeben hab und C suche (wie in der nächsten Aufgabe), geht das auch nicht mehr!!

Es muss über irgendwelche "Vektorketten" gehen, wie ich vorhin angesetzt hatte.
 
B

Brummelchen

Gast
Fang mal von vorn an:

M(c) ist der Mittelpunkt von AB.

Die Strecke a liegt dem Punkt A gegenüber. Also wäre M(a) die Mitte von BC.

hoehe1.gif


A(6/-1/0)
B(-2/6/4)
C(1/1/-1)
(A unten Links, B unten Rechts, C oben - gegen den UZS gezählt)

M(a) = 1/2 * (B+C)
M(b) = 1/2 * (A+C)
M(c) = 1/2 * (A+B)

M(a) = (-0.5, 3.5, 1.5)
M(b) = (3.5, 0, -0.5)
M(c) = (2, 2.5, 2)
 

sanmaus

assimiliert
Also, was mir gerade als Lösung vorschwebt, ist sowas, wie im Anhang (Aufgabe 2). Das war ne Hausarbeit, die ich falsch hatte. Hier ist die Lösung vom Prof. Die dann schon klar war, aber irgendwie hatte ich das auch auf einen ähnlichen Weg gemacht. Eigentlich führen ja viele Wege zur Lösung, nur meine nie!

Nach dem Muster wollte ich die gegebene Aufgabe lösen.
 

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B

Brummelchen

Gast
Ich zeichne den Krempel grad zwei-dimensional... stay tuned...

So sieht das von vorn aus, das Dreieck liegt natürlich im Raum dazu.
 
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schrotti

assimiliert
Warum nicht einfach mit einer Pfeilkette rechnen, wenn schon die Schwerpunktformel nicht verwendet werden soll?
(Übrigens war in Bio's Formel ein kleiner Fehler bei der y-Koordinate: ys = (-1+6+1)/3 ;)

Also nach Realschul-2D-Mathe: (S = Schwerpunkt, v = Vektor)
(horizontale Koordinatentripelschreibweise (x;y;z))

v(OS) = v(OA) + 2/3 * v(AM(a)) (M(a) wie bei Brummelchen Mittelpunkt von Seite BC)

(x;y;z) = (6;-1;0) + 2/3 * (-0,5-6;3,5+1;1,5-0)

= (6;-1:0) + 2/3 * (-6,5;4,5;1,5)

= (6;-1;0) + (-4,333;3;1)

= (1,666;2;1) ==> S(1,666;2;1)

Kommt auf's gleiche wie bei Bio's (verbesserter) Formel!

Oder war das jetzt zu billig von der Warte der Schulmathe? ;)

gruß schrotti :) :)
 

sanmaus

assimiliert
Danke, schrotti, ich glaub, ich hab vergessen, dass ich das alles vom Nullpunkt aus sehen muss.

Danke auch an Brummelchen für die Grafik. Welches Programm verwendest du da?
 

schrotti

assimiliert
Genau, mach's mit Ortsvektoren, die im Ursprung O(0;0;0) ihren Fuß haben, hatte ich vergessen zu erwähnen, aber Du hast es ja gleich kapiert! :)
v(AM(a)) dann mit der Regel "Spitze - Fuß" berechnen!

gruß schrotti :) :)

PS: Aua, Brummel, Deine z-Achse hat mich voll aus dem Bildschirm ins Auge gestochen ... :D
 
B

Brummelchen

Gast
Graphmatica for Windows, version 2.0e
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http://www.graphmatica.com/

Und das ist die entsprechende Parameterdatei.

MatLab könnt auch 3D, aber das Teil ist verdammt gross und kostet viel Geld.

Mir fällt grad was auf - wir haben das über die Werte berechnet. Ist ja auch soweit alles
gut, aber IMO sollte das über die Vektoren berechnet werden wie in der Musteraufgabe.
(wobei hier der Faktor 0.5 für die Seitenhalbierenden genutzt wird statt 1/3 etc)
:D

PS schrotti - LINKE Hand für das Koordinatendreieck, nicht die rechte :ROFLMAO:

PPS das neue mit dem alten - berechne S (x/y/z)
 
Zuletzt bearbeitet:

schrotti

assimiliert
Danke, Brummelchen, für den Hinweis, hast Recht! (y)

Jetzt aber bloß nicht noch die Lenz'sche Regel hinterherjagen, da hab' ich schon als Schüler im Gymi immer den Fingerkrampf bekommen ... :rolleyes:

gruß schrotti :) :)
 
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