[Mathe]Komplexe Nullstellen ermitteln

Hidden Evil

Moderator
Teammitglied
Nabend :)

Ich bräuchte mal einen Denkanstoß, um für folgende Funktion die komplexen Nullstellen zu ermitteln:

P(z):= z^8+2z^7+3z^6+2z^5+z^4-2z^3-3z^2-2z-2

Folgende Nullstellen sind gegeben:
Z0=-1+i
Z1=i

(Laut dem Übungsblatt gilt: Wenn Z1=i dann Z2=i konjugiert komplex (also -i)
Also Z2=(Z-i)(Z+i)=z^2+1

Nun hab ich diesen Term nach der Polynomdivision:

Q(z)=z^6+2z^5+2z^4-z^2-2z-2

Hierraus habe ich die reelle Nulstelle Z3=1 festgestellt und Q(z)/(Z-1) ermittelt:

R(z)=z^5+3z^4+5z^3+5z^2+4z+2

Hierraus hatte ich Z4=-1 gefunden und R(z)/(Z+1) geteilt:

S(z)=z^4+2z^3+3z^2+2z+2

Ab hier gibt es keine Reellen Nullstellen mehr, aber sicher noch komplexe. Nur wie schreibe ich das, dass es keine Reellen mehr gibt und wie ermittel ich nun hier die komplexen Nullstellen?

Wär geil, wenn mir da jemand helfen könnte :)
 
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schrotti

assimiliert
Uff, Hidden, mit komplexen Zahlen hatte ich das letzte Mal in der Uni zu schaffen und das ist lange, lange her. Also kann ich Dir nur rein laienhaft mitteilen, dass durch Probieren noch zwei komplexe Lösungen rauskommen, nämlich wiederum i und das konjugiert komplexe -i.

Also damit Z5 = i und Z6 = -i.
Polynomdivision durch z^2 + 1 liefert dann:

T(z) = z^2 + 2z + 2

und damit schließlich die beiden letzten Lösungen mit der Mitternachtsformel:

Z(7) = -1+2i und Z(8) = -1-2i

Also, ich kann's, wenn das so stimmen sollte, auch nur probiermäßig angehen.
Aber Du bist nicht allein mit dem Problem! ;)

uninet :: View topic - Reelles Polynom - Komplexe Nullstellen: Beweis?

gruß schrotti :) :)

PS: Ganz oben muss es z^8 heißen! :angel
 

Hidden Evil

Moderator
Teammitglied
Geil, vielen Dank schonmal :)

Durch z^2+1 nochmals zu teilen, kam mir auch in den Sinn, aber dann dachte ich, dass diese Nullstelle(n) bereits ermittelt wurden; daher hatte ich das ursprünglich verworfen.
 

schrotti

assimiliert
Jou, verständlich, aber es gibt in einem Polynom n-ten Grades eben durchaus bis zu n-fache Nullstellen! Kleine Schuftigkeiten in der Uni- oder Gymikost erhöhen den Lerneffekt ... :D


gruß schrotti :) :)
 
B

Brummelchen

Gast
Blöde Frage: i und -i krieg ich ja noch auf die Reihe, wegen ^8 ; i=sqr(-1)

Aber wie kommt ihr auf Q/R/S (z) - wo bleibt das x^8 ?
Und wieso i - was ist da mit z als Parameterschar - unwichtig? - wenn ja, warum?
 

Hidden Evil

Moderator
Teammitglied
Man kann für die Ermittlung der Nullstellen die Funktion auch als f(x)=(X-x1)(X-x2)... dargestellen. Wenn mindesten eine der Klammern 0 wird, wird f(x) = 0. Wenn man diese Stellen x1, x2, ... herausfindet (durch "Ausprobieren"), kann man die Ursprungsfunktion durch den Term teilen, der durch Multiplikation die Funktion auf 0 bringen würde (Ich weiß, klingt scheiße). Hätte ich eine Nullstelle bei x1=1, kann ich den Ursprungsterm durch (X-1) teilen, um den Grad der Funktion zu verringern und weitere Nullstellen herauszufinden. Teile ich eine Funktion 8en Grades durch eine 1ten Grades, ergibt das Ergebni eine Funktion 7ten Grades.

Deswegen verschwindet das x^8, da ich durch einen Term 2ten Grades teile :)
 
B

Brummelchen

Gast
Boah, dich sollte man hauen -> x x x x x x x x x

Ich hab vorhin sogar Matlab installiert und geflucht, weil das Programm sch* schwer ist.

Dann wird's natürlich einfach wegen der Polynomdivision mit den beiden Nullstellen.

So sähe das für den realen Zahlenbereich aus - muss ich nochmal nachlesen, wie eine
komplexe Zahl ausschaut, evtl z=a+bi - ah ja, gut geraten ^^
http://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl

D.h. ich müsste z durch a+bi ersetzen und nochmal durchrechnen.

--> P(z):= (a+bi)^8+2(a+bi)^7+3(a+bi)^6+2(a+bi)^5+(a+bi)^4-2(a+bi)^3-3(a+bi)^2-2(a+bi)-2

Im Prinzip Quark - am besten erstmal die Poly im realen durchführen (angenommen z aus R),
dann das Ergebnis mit a+bi ersetzen, dürfte einfacher sein.

Tja, bei z=1 und z=-1 verliessen sie ihn, mehr Nst hat es nicht im realen Bereich, hier endet die Poly.

Q(z) = z^7 + 3z^6 + 6z^5 + 8z^4 + 9z^3 + 7z^2 + 4z + 2
R(z) = z^6 + 2z^5 + 4z^4 + 4z^3 + 5z^2 + 2z + 2
 
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B

Brummelchen

Gast
Ja sorry - ich war da gestern schon etwas weiter, aber das war verrannt.
Ich hab das mit dem konjugiert komplex nochmal nachgelesen, aber irgendwie
peil ich das nicht, dass man von i auf -i schliessen könnte, nur weil der Winkel
negativ ist. Entweder ist das zu lange her, oder wir hatten das nicht, oder
ich hab da grad gefehlt :angel
 

TBuktu

assimiliert
Oder Du hattest auch einen geilen Rechner, der sowohl karthesisch als auch Polar konnte. Umwandeln entfiel für mich :D
Ich konnte mit dem ollen Commodore beide (karthesischen) Teile in x & y Register packen und dann mit der Funktionstaste gefolgt von Grundrechenart normal rechnen :D

Gruss
Tim
 
B

Brummelchen

Gast
Nein, meiner war so fortschrittlich, dass ich das programmieren konnte :D
Direkt damit rechnen konnte er aber nicht, nur der Nachfolger.
Wenn es nur um den reallen Anteil geht, ist das klar, trotzdem sind
das immer noch zwei verschiedene Zahlen nach meinem Verständnis.
Für die Leistungsberechnung einfach genug (kap/ind).
 
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