Betragsungleichung

sanmaus

assimiliert
Ich beginne bald mein Studium und nehme grad an einem Mathevorkurs teil...
leider hatte ich heute nich mehr so den Durchblick und da "der da vorne" den Stoff vor 90 Leuten einfach durchzieht, hab ich grad n Problem.

Gegeben ist eine Betragsungleichung, und ich soll die Werte von x bestimmen.

Ich hab schon gegooglet, aber verstanden hab ichs noch nicht so ganz.

Es geht um folgende Gleichung:

|x²-6x+9|>4

Dann fang ich doch an und schau, für welche x da Null rauskommt, also mit Mitternachtsformel und x²-6x+5>0 wäre da x1=5 und x2=1

Daraus kann ich dann die Ungleichung in Faktoren ausdrücken:

(x-1)(x-5)>0

rein theoretisch dürfen ja beide Faktoren nicht Null ergeben, also muss x-1>0 sein und x-5>0

also x>1 und x>5... also allgemein x>5

Beide Faktoren können ja aber auch negativ sein, also

x-1<0 und x-5<0 ... somit x<1 und x<5 also allgemein x<1

und dann??
 

chmul

Moderator
Teammitglied
Dann hast Du die Lösung. x muss kleiner 1 oder größer 5 sein.

Obwohl ich besser meine Klappe halten sollte, ich hatte einen vollen Punkt im Mathe-Abi und das ist schon seeehr lange her.
 

sanmaus

assimiliert
Ich hatte im Mathe Abi 13 Punkte... aber das is ja nun egal ^^

Ok, x <1 oder x > 5 ...

aber ich versteh nicht, wie ich den Betrag beachten muss. Denn so wies dasteht, is das nix von wegen Betrag... Bei den x² is egal, aber die 6x können ausschlaggebend sein... und ich weiß nicht, wie das beachtet wird.

Wenn ich das im Wertebereich einsetz, stimmt zwar alles, aber dann könnte doch genauso die Ungleichungen ohne Betragsstriche dastehen, oder nicht??
 

chmul

Moderator
Teammitglied
Die Beitragsstriche müssen halt dann beachtet werden, wenn die linke Seite negativ werden kann. In diesem Fall kann der Ausdruck aber nicht negativ werden, also interessieren die Betragsstriche nicht.

Sag ich jetzt mal so also Ahnungsloser.
 
B

Brummelchen

Gast
>> x²-6x+5>0 wäre da x1=5 und x2=1

Soweit bin ich ja noch mitgekommen, aber dann...

>> (x-1)(x-5)>0

Das Produkt muss größer 0 sein, nicht die beiden Einzelbetrachtungen in der Klammer.

Weshalb
>> also muss x-1>0 sein und x-5>0
falsch ist.

Denn bei x>1 (aber x<5) wäre zwar a>0, aber b<0 und somit a*b<0

Du musst beweisen, dass die Funktion vor der 1. und nach der 2. Nullstelle oberhalb
der X-Achse und dazwischen unterhalb verlauft - ich würde das mit der Scheitelpunktbestimmung
machen, erste Ableitung:
y'=x²-6x+5
y'=2x-6
y'=x-3 => Wendepunkt bei 3

2. Ableitung
y''=-3 => Minimum am Wendepunkt (x=3)
(wäre y''>0 => Maximum)

=> x<1 \/ x>5 => a*b>0

Also Fallbetrachtung:
- für x<=1: (x-1)(x-5)>0
- für x>1 /\ x<5: (x-1)(x-5)<0
- für x>5: (x-1)(x-5)>0
- für x=1 \/ x=5: (x-1)(x-5)=0
 
Zuletzt bearbeitet:

sanmaus

assimiliert
(x-1)(x-5)>0
damit hab ich doch x²-6x+5>0 anders geschrieben...

Da das Produkt größer 0 sein muss, müssen entweder beide Klammern positiv oder beide Klammern negtiv sein.

Aber das mit der Fallbetrachtung versteh ich nicht!
Das mit den Ableitungen haben wir gar nicht besprochen... Aber das sieht logisch aus.
 
B

Brummelchen

Gast
Die Fallbetrachtung betrachtet die jeweilige Seite einer Nullstelle (also jeweils
rechts und links von 1 bzw 5) und das Ergebnis daraus (durch einfache Berechnung).

Ohne Differentialrechnung wirst du im Studium nicht weit kommen. Klar wird das noch
nicht verlangt, aber ihr geht dadurch in Höchstgeschwindigkeit, um die eigentliche
höhere Mathematik anzustreben - also wundere dich nicht, wenn du mitmal was vermisst.
Für's Studium wird Integral- und Differentialrechnung stillschweigend vorrausgesetzt.

Was du da grad machst, ist Kurvenbetrachtung.

Ach so - dazu nochmal - mit der Differentialrechnung kannst du ohne eine Wertetabelle
eine Graphen so ziemlich genau aus dem FF zeichnen.

"Zack - Nullstellen, Zack - Wendepunkt(e), Zack Minimum/Maximum - ja so müsste er ungefähr aussehen."

Du kannst noch den Punkt für x=0 so erkennen (y=5), aufgrund der symmetischen
Parabel noch das Gegenstück bei 0>3>6=>y=5 und dann isses sogar schon zu genau.

Interessant wird das nämlich erst bei mehrfachen Potenzen und der Frage:
"Wieviele Maxima sind im Bereich x0 bis x1 zu finden?"
"Sie haben 2 Minuten Zeit für die Lösung

:D ;)
 

sanmaus

assimiliert
Nullstellen, Maxima, Minima - alles kein Thema. Is ja alles Abi-Stoff... ohne kam man im Abi gar nich weiter. Aber ich konnte es in dem Bereich nicht in Zusammenhang bringen. Aber es ist nach deiner Erklärung einleuchtend und einfach. Danke - hat mich weitergebracht!
 

schrotti

assimiliert
Eine kleine Anmerkung vielleicht noch:

Bei Eurem Lösungs-Exkurs habt Ihr die Betragszeichen für den quadratischen Linksterm einfach weggelassen, was hier auch absolut keine Auswirkungen hat, da die Termwerte von x² -6x +9 = (x - 3)² eh nur bis auf x=3 (==> T(3)= 0) positive Werte annehmen. Damit fallen auch keine negativen Termwerte unterhalb -4 an, deren Betrag ja größer als 4 sein würde und deren zugehörige x-Belegungen dann sehr wohl die Lösungsmenge x>5 oder x<1 erweitern würden.

Also eine sehr seltsame Aufgabe, bei der die Betragsstriche absolut keine Funktion haben! Vermute, einer hat mal mit dem Schrott angefangen und alle Nachfolger haben das dann kopiert, wie so oft in Mathebüchern und Seminar-Skripten.

Ganz genau: Abs(x² - 6x + 9) > 4

1. Fall: x² - 6x + 9 > 4 für x² - 6x + 9 >= 0
...... (x - 1)(x - 5) > 0
...... L1 = {x/ x>5 v x<1}

2. Fall: x² - 6x + 9 < -4 für x² - 6x + 9 < 0 (eigentlich illusorisch!)
...... ohne Linearfaktorzerlegung wird die zugrundeliegende quadrat. Gleichung nach Rechenbefehl /+4 mit der Mitternachtsformel behandelt:
x² - 6x +13 = 0 ==> Diskriminante D = 6² - 4*13 = - 16, d.h. < 0, also keine zweite Lösungsmenge (bzw. Schnittpunkte mit der x-Achse!)

Damit ist, wie gesagt, dieser zweite wichtige Fall hier absolut ohne Bedeutung und die Betragsstriche in der Ausgangsaufgabe ebenso! Die sollen wohl nur der höheren Verwirrung dienen! :D

gruß schrotti :) :)

Edit: Oh sorry, hab' den Thread zu schnell durchgelesen und übersehen, das @chmul das ja auch gleich schon erkannt hatte! Trotzdem, komische Aufgabe!
 
B

Brummelchen

Gast
Ich bin das eben nochmal durchgegangen...

Ich Schussel hab auch die Betragsstriche geschlabbert - und dann sieht die Gleichung
ja komplett anders aus:

|x²-6x+9|>4

wird zu

|(x-3)²|>4

Da sich die |()| mit dem ² aufheben, es sei denn, man rechnet imaginär, wird das einfacher:

(x-3)²>4 ;Wurzel ziehen

# ah ja, so gehts, hier gefunden
http://www.teachersparadise.com/ency/de/wikipedia/l/lo/loesen_von_ungleichungen.html

a) x-3 > +2
b) x-3 < -2 (entscheidet man sich für das -, "so muss auch das Vergleichszeichen umgedreht werden")

die 2 rüber, ergibt

x-3 -2 > 0
x-5>0
x>5

und

x-3-(-2)<0
x-1<0
x<1

Also x[oo;-1[ und x]5;oo] wird die Gleichung erfüllt.

oo= unendlich und die eckige Klammer weg von der Zahl bedeutet ausschliesslich (weil 1 und 5 ja die Gleichung nicht mehr erfüllen)

x1-5 > 0 ;das hier verstehe ich noch laut Graph, ab 5 wird ()>0
x2-1 > 0 ; hier haperts, weil es eigentlich -x2-1>0 sein müsste, um dem Graphen zu entsprechen.
 
Zuletzt bearbeitet:

sanmaus

assimiliert
Danke für die nächtliche Ausarbeitung. Das ist sehr übersichtlich.
Also im Prinzip hab ichs verstanden.

Wenn ich wieder n Mathe-Problem hab, komm ich zu dir ;)

Grad gehts um Determinanten - hab ich aber so weit auch verstanden. Mal sehen, was noch so nächste Woche kommt ;)

Das is echt krass, ein Thema in 6 Stunden durchzuziehen, was in der Schule in 6-8 Wochen erklärt wird...
 
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