Matheproblem 1

Wobei alle Quellen immer mit Vorsicht zu geniessen sind
Schaut mal hier rein
Negative Wurzeln - Vorzeichen vor die Wurzel!

Gesicherte Aussagen gibte es eben eher im Bronstein / Semendjajew oder Bartsch u.a.

Gruss
Tim

schrotti schrieb:

Bsp. sqr((-1)^2) = sqr(1) = 1

Zum Vergrößern anklicken....

Seh ich auch so

[/ot]

schrotti schrieb:

Selbst im Reellen sind Mehrdeutigkeiten möglich, denen man mit Ausschlusskriterien begegnet:

Bsp. sqr((-1)^2) = sqr(1) = 1

aber nicht: sqr((-1)^2) = ((-1)^2)^1/2 = (-1)^2/2 = (-1)^1 = -1

Potenzieren und Radizieren sind also nur im Bereich der positiven reellen Zahlen jeweilige Umkehroperationen. Sh. Link -Rechenregeln- (fettfarbig!)
[...]
gruß schrotti

Zum Vergrößern anklicken....

Womit die Aussage, dass die Quadratwurzel aus (-1)² nur eine Lösung hätte, nicht korrekt wäre!
Die Funktion Quadratwurzel hat immer(!) zwei Lösungen (wie die kubische immer drei Lösungen hat... auch wenn sie nicht alle unterschiedlich sein müssen.)

Also bleibt als Lösung für SQRT((-1)^2) = SQRT(1) (die innere Funktion wird(!) zuerst aufgelöst),
woraus sich die beiden Lösungen +1 und -1 ergeben.

Das "Kürzen der Funktionen" (also das ((-1)^2)^0,5 = (-1)^(2*0,5) = (-1)^1 = -1) führt nur zu einer der Lösungen, ist also nicht verkehrt, sondern nur unvollständig.

(just my 2ct)
Grüße

Ich bin doch mal ganz stark für -1 und 1 als Lösung...
Erst quadrieren dann Wurzel ziehen...

Ernst_42 schrieb:

Womit die Aussage, dass die Quadratwurzel aus (-1)² nur eine Lösung hätte, nicht korrekt wäre!
Die Funktion Quadratwurzel hat immer(!) zwei Lösungen (wie die kubische immer drei Lösungen hat... auch wenn sie nicht alle unterschiedlich sein müssen.)

Zum Vergrößern anklicken....

NEIN und nochmal NEIN!
Du vermengst hier einiges begrifflich, meine ich. Es gibt keine 'Funktion Quadratwurzel' sondern nur eine 'Quadratwurzelfunktion' x ---> sqr(x), das ist was ganz anderes als ein blanker Term mit Wurzeloperator. Um diese Funktion geht's auch gar nicht, sondern um die Eindeutigkeit der Termdarstellung und Termumformung.

Der Term Sqr((-1)²) darf per definitionem, eben um die Eindeutigkeit zu garantieren, nur einen Termwert haben, und das ist 1! Dies ist auch keine "Lösung", sondern eben "nur" der eindeutige Wert des Terms. Ansonsten würde man schnell bei so Aussagen wie 1 = -1 landen im vollen Einklang mit den Rechengesetzen und das darf ja wohl nicht sein, oder?

Du verwechselst das mit den Lösungen von Gleichungen bsp. x² = 2 oder x³ = 8 (kubische Gl.) oder auch sqr(x) = 3 (Wurzelgl.). Da können je nach Grundmenge durchaus mehrere Lösungen (auch Mehrfachlösungen ) herauskommen. Insbesonders sind ja die komplexen Zahlen, in denen die imaginären Zahlen eine Teilmenge bilden, erschaffen worden, um jede quadratische Gleichung lösbar zu machen.

Also das mit den Ausschlusskriterien hat seine Bewandtnis und formale Richtigkeit!


gruß schrotti

*kommentarlos staun*
siehste brummi, is doch noch ne diskussion draus geworden

>> Sqr((-1)²) ... Ansonsten würde man schnell bei so Aussagen wie 1 = -1 landen

Ebenso falsch - weil nur durch das sqr(...²) -1 auf 1 abgebildet wird.
Zwischen -1 und 1 passiert also was, daher können die NIE gleich sein.

Mich würde jetzt nur noch interessieren, was dein Pauker als richtig gelten lässt,
da ich auch auf 1/-1 als Ergebnis ansehe.

siehste, mein lehrer versteht das alles net
der hat uns am rande des zusammenbruches gestanden, dass er sich net vorbereitet hat auf sowas

Und so ein Idiot darf Lehrer sein?

Bei Lehrern gibt es den ganz normalen IQ-Durchschnitt wie sonst auch!
Und das Thema ist schon etwas verzwickt, also gemach mit Vorverurteilungen!

Brummelchen schrieb:

Ebenso falsch - weil nur durch das sqr(...²) -1 auf 1 abgebildet wird. Zwischen -1 und 1 passiert also was, daher können die NIE gleich sein.

Zum Vergrößern anklicken....

Weiß jetzt nicht, auf was Du abhebst, Brummel, denn mit Abbildungen und Funktionen hat das Ganze hier doch nichts zu tun, sondern nur mit definitionsmäßigen Festlegungen und Ausschlussregeln bei Verwendung verschiedener Zahlengrundmengen, damit die Eindeutigkeit der Termwerte gesichert bleibt.

Also nochmal: sqr((-1)²) ist eindeutig nur 1 und nix anderes. Denn die Wurzel darf nur im Bereich der positiven reellen Zahlen gezogen werden und ist selbst auch immer positiv!

Wenn ich aber mit der Definition sqr(-1) = i den Zahlenbereich der reellen Zahlen verlasse und in den Bereich der imaginären Zahlen/komplexen Zahlen überwechsle, dann gilt das Permanenzprinzip für die Rechenregeln (Potenzregeln, Wurzelrechenregeln) nicht mehr durchgängig, da die reellen Zahlen eben keine Teilmenge der imaginären/komplexen Zahlen sind.

Charon hat ja (augenzwinkernd!) im anderen Mathe-Thread so ein Unding an Termumformung gepostet, das dann den Beweis für 1 = -1 liefern sollte. Ich raffe das mal etwas:

1 = sqr(1) = sqr(1*1) = sqr((-1)*(-1)) = sqr(-1)*sqr(-1) = i*i = i² = -1

Wo steckt der Fehler?
Ganz einfach: sqr((-1)*(-1)) ist nicht gleich sqr(-1)*sqr(-1), da dieses Wurzelgesetz bzw. Potenzgesetz nur für positive Radikanden (Basen) gilt. Ansonsten verlasse ich ja den reellen Zahlenbereich durch diese Umformung und nicht nur das: ich muss auch noch die (willkürliche) axiomatische Definition von i² = -1 schlucken.

Aber wahrscheinlich ist jetzt alles noch mehr verunklart worden ... :smokin
Und ich muss meinem User-Titel doch irgendwie gerecht werden!

gruß schrotti

Nö ich verstehs

Schrotti hat recht besonders

Wenn ich aber mit der Definition sqr(-1) = i den Zahlenbereich der reellen Zahlen verlasse und in den Bereich der imaginären Zahlen/komplexen Zahlen überwechsle, dann gilt das Permanenzprinzip für die Rechenregeln (Potenzregeln, Wurzelrechenregeln) nicht mehr, da die reellen Zahlen eben keine Teilmenge der imaginären/komplexen Zahlen sind.

Zum Vergrößern anklicken....

und damit auch

Also nochmal: sqr((-1)²) ist eindeutig nur 1 und nix anderes. Denn die Wurzel darf nur im Bereich der positiven reellen Zahlen gezogen werden und ist selbst auch immer positiv!

Zum Vergrößern anklicken....

unisülz

>> Wo steckt der Fehler?

Diese Umformung ist sowieso etwas komisch.

>> Denn die Wurzel darf nur im Bereich der positiven reellen Zahlen gezogen werden

Ach, wer erzählt denn sowas? Was meinst du, warum i eingeführt wurde?
In der elften (!) Klasse ist das eine feste Rechengröße, um genau solche Lösungen
zu erfassen. Wie reden hier nicht mehr über 6 Klasse, Grundrechenarten und Zahlenmenge N.

Was meinst du, warum i eingeführt wurde?

Zum Vergrößern anklicken....

Hab' ich doch schon geschrieben. Aber ich wiederhol's Dir zuliebe nochmal: damit jede quadratische Gleichung lösbar wird. Nur habe ich dann mit der axiomatischen Definition sqr(-1) = i einen ganz neuen Zahlenbereich erschlossen, in dem ganz neue Verknüpfungen und Rechenregeln gelten. Ernst_42 hat dazu im anderen Thread ja sehr ausführlich gepostet.

i als feste Rechengröße 11. Klasse hin oder her, die alten Rechengesetze brauchen eben eine "Runderneuerung" bzw. Modifikation/Erweiterung in dem neuen Zahlenbereich. Das hat nichts mehr mit 6.Klasse Mathe zu tun, stimmt, aber das war nicht das Thema.

gruß schrotti

Damit es Euch nicht zu langweilig wird, und Du, Morra, Deinen Lehrer noch weiter zur Verzweiflung treiben kannst, hier noch ein Beispiel bei dem die Logarithmus- und Potenzidentitäten versagen (ich schreibe in LaTeX-Form):

i \pi = \log(-1) = \log((-i)^2) \not = 2\log(-i) = 2(-i\pi/2) = -i\pi


Nun, wo liegt hier der Fehler???

dan


P.S. diese Identitäten (in der Schule sagt man Potenzgesetze) gelten eben NICHT für alle Zahlenbereiche. Und für einen Mathelehrer eines Gymnasiums ist das schon ein sehr sehr schlimmes Armutszeugnis wenn er das nicht weiss. Aber in der Schule habe ich von Mathe und Physik auch nix kapiert (ausser das was ich mir selber beibrachte), das kam erst als ich anfing zu studieren.

der lehrer is net schlecht, der is normal gut
nur der hat sich net vorbereitet dass wir ihm das um die ohren hauen

Also mathestoff der 9. Klasse: wurzelziehen: Aus einer negativen zahl darf keine wurzelgezogen werden-> -1 ist falsch. Multiplikation/Division und Wurzelziehen dürfen in der reihenfolge vertauscht werden-> [wurzel](-1*-1)=[wurzel](1)=1

SteelyDan schrieb:

i \pi = \log(-1) = \log((-i)^2) \not = 2\log(-i) = 2(-i\pi/2) = -i\pi

Zum Vergrößern anklicken....

Kannst Du das evtl. etwas allgemeinverständlicher für einen etwas verkalkten Angehörigen des Leerkörpers rüberbringen, ich steh' nämlich nicht so auf Latex ...

gruß schrotti

JSspezial schrieb:

Also mathestoff der 9. Klasse: wurzelziehen: Aus einer negativen zahl darf keine wurzelgezogen werden-> -1 ist falsch. Multiplikation/Division und Wurzelziehen dürfen in der reihenfolge vertauscht werden-> [wurzel](-1*-1)=[wurzel](1)=1

Zum Vergrößern anklicken....

`
Es ist nunmal so: Ich bin in der 11, und ich habe schon, durch einen Schachkollegen, den Bereich der imaginären Zahlen kennengelernt. Das Argument zieht hier net