Mathe - wir kommen nicht weiter - direkte und indirekte Proportionalität

[newbieman]

Hallo es ist kein Hausaufgabenforum, aber könnt Ihr uns trotzdem bitte mal helfen. Wir kommen nicht weiter:
Auf einem Segelschiff sollen 21 Matrosen ihren Dienst versehen. Für die Dauer der Reise, insgesamt 6 Wochen, werden Lebensmittel an Bord gebracht.
a) Bei Reisebeginn treten 3 Matrosen nicht an. Um wie viele Tage könnte die Reise theoretisch verlängert werden?
b) Um wieviele Matrosen könnte die Mannschaft verstärkt werden, wenn sich die ursprüngliche Reisedauer um ein Drittel verkürzt?
Vielen Dank, ciao newbieman

[Hidden Evil]

Ich kenne nicht den Rechenweg, den Deine Tochter gelernt hat, daher gehe ich mal von dem aus, der mir beigebracht wurde.

Du setzt erst einmal beide Sachverhalte in einen Zusammenhang, denn Du hast 3 Werte und den 4. musst Du ermitteln.

^= => Entspricht

A)

21 Matrosen ^= 42 Tage
18 Matrosen ^= X Tage

Bei umgekehrter Proportionalität (weniger Matrosen, daher mehr Tage Proviant) gilt folgende Rechnung:

Bei
A ^= B
C ^= X
wird folgender Bruch geschrieben:

A * B
------ = X
C

Daraus folgt:

21 M * 42 T
----------- = X
18 M

Du wirst errechnen, dass dabei 49 Tage herauskommen, wenn es nur 18 Matrosen sind. Das ist aber noch nicht die Lösung, denn es wurde gefragt, um wie viele Tage die Reise verlängert werden kann. Ergo lautet die Antwort, also die Differenz, 7 Tage.

B)

Hier handelt es sich wieder um eine umgekehrte Proportionalität, denn es gilt: Mehr Matrosen können versorgt werden durch weniger Reisezeit.

Die Rechnung verrate ich diesmal nicht, aber Du musst wieder von den 18 Matrosen ausgehen und einer Reisezeit von 4 statt 6 Wochen, also nur 28 Tagen. Und auch hier gilt, am Ende noch die Differenz zu ermitteln. (Hier kannst Du auch mit Wochen rechnen, da nicht gezielt nach Tagen gefragt wurde)

[newbieman]

Hallo danke für die Hifle. Die erste Teilaufgabe hatten wir auch so raus, allerdings mit Wochen gerechnet. Bei der zweiten Teilaufgabe rechne ich 18 Matrosen: 42 Tage = x:28 Tage, macht 27 dann die Differenz ausrechnen: 27 Matrosen - 18 Matrosen = 9 Matrosen, ich hoffe das so richtig ist. Ciao newbieman

[Hidden Evil]

9 Matrosen, richtig

Was ich noch vergaß:
Bei direkter Proportionalität lautet der Bruch folgendermaßen:

A ^= B
C ^= X

B * C
------ = X
A

Da die beiden Aufgaben aber nur umgekehrte Proportionalität beinhalteten, hatte ich das zuvor nicht erwähnt. Falls aber mal nötig, kannst Du es ja dann anwenden

[newbieman]

Hallo Hidden Evil, danke für deine Hilfe. Bin gerade erst nach Hause gekommen und schon ist Tinchen wieder mit ihrem Mathe da. Ich freue mich ja, dass ich die eine Aufgabe wenigstens richtig gerechnet habe. Da ich gesehen habe, dass du in Berlin wohnhaft bist, wir sind ja dann bald Nachbarn, werden wir dich wohl irgendwann mal einladen. Kannst du mir bitte noch bei folgender Aufgabe helfen, ich glaube da habe ich wohl falsch gerechnet:
25 Arbeiter sind täglich 7 Stunden tätig und stellen ein Sportfeld von 8000 m² in 32 Tagen fertig. In welcher Zeit können 20 Arbeiter 12 000 m² fertig stellen, wenn sie täglich 8 Stunden arbeiten?

bei der dieser Aufgabe weiß ich gar nicht weiter, weil ich nun vier Komponenten auf jeder Seite habe. Lösungsvorschlag:
25 Arbeiter:7 Stunden : 8000 m²: 32 Tage = 20 Arbeiter: 8 Stunden:12000m²:x = 25x7x8000x32:20x8x12000=23,33 Tage - ist das so richtig?

Vielleicht kannst du dich unser noch einmal erbarmen. Vielen Dank Hagen

[Hidden Evil]

Ich erhalte als Lösung 52,5 Tage.

Das Problem ist das Vermischen von Proportionalität und Antiproportionalität.

Du hast folgende Fakten:

25 A ^= 7 Std ^= 8000 m² ^= 32 T
20 A ^= 8 Std ^= 12000 m² ^= X

Betrachte nun erst mal nur die 4 Angaben, die nahe dem X stehen, also 8000 m² ^= 32 T und 12000 m² ^= X
Du wirst feststellen, dass dies proportional ist, denn mehr Fläche bedeutet mehr Arbeitszeit.

Es gilt also zunächst:

32 T * 12000 m²

X = --------------------

8000 m²

Nun stellst Du fest, ob sich die Stunden proportional oder antiproportional zu den Tagen verhalten. Mehr Arbeitszeit am Tag bedeutet weniger Arbeitstage insgesamt, also diesmal antiproportional. Die 7 Std kommen also auf den Bruchstrich und die 8 Std unter den Bruchstrich (siehe Formel in der vorigen Aufgabe).

Du hast also nun folgenden Bruch:

32 T * 12000 m² * 7 Std

X = -------------------------------

8000 m² * 8 Std

Zuletzt betrachtest Du den Zusammenhang zwischen den Tagen und der Anzahl der Arbeiter. Da sich die Anzahl der Arbeiter verringert, muss die Tagesarbeit also höher werden => Antiproportional. Daher kommen die 25 Arbeiter auf den Bruchstrich und die 20 Arbeiter unter den Bruchstrich. Es ergibt sich also insgesamt der folgende Bruch:

32 T * 12000 m² * 7 Std * 25 A

X = -----------------------------------

8000 m² * 8 Std * 20 A

Kürzt man noch eine Menge weg, bekommt man

105 T

X = -------

2

was die bereits erwähnten 52,5 Tage ergibt


Alle Angaben ohne Gewehr, da noch ein Hauch von Unsicherheit meinerseits mit einfließt. Es müsste richtig sein, aber ob Komma-Stellen dabei herauskommen sollten weiß ich nicht, hängt vom Lehrer ab.

[newbieman]

Danke für deine Hilfe, dass muss ich erst einmal alles verdauen. Gruß Hagen

[newbieman]

Hallo das haben wir nun so einigermaßen kapiert. Wie kann man sich aber merken, was nun auf dem Bruchstrich steht und was darunter? Kann man es vielleicht so sagen, dass oben immer die proportionalen und unten die antiproportionalen Faktoren stehen? Ich hoffe ja, dass nach der Frage nicht davon auszugehen ist, dass ich nun doch nichts verstanden habe. Vielen Dank noch einmal für die Geduld und einen schönen Abend. Ich finde das alles ganz schön schwer für die 8. Klasse. Gruß Hagen

[Hidden Evil]

Du kannst es Dir so merken:
Angenommen, Du hast nur 2 Unterschiedliche Komponenten wie in den ersten beiden Aufgaben...

A ^= B
C ^= X

Bei Antiproportionalität kommt das, was dem X horizontal gegenüberliegt, unter den Bruchstrich und die beiden anderen werden auf dem Bruchstrich miteinander multipliziert, also:

A * B
----- = X
C

Bei Proportionalität kommt das, was dem X diagonal gegenüberliegt, unter den Bruchstrich und die beiden anderen sich diagonal liegenden Komponenten werden auf dem Bruchstrich multipliziert, also:

C * B
----- = X
A

Es geht sogar noch etwas einfacher zu erklären:

Das, was über X steht, kommt immer auf den Bruchstrich. Bei Antiproportionalität kommen dann die beiden anderen (bekannten) Komponenten dann so wie sie da stehen in den Bruch hinein, also A nach oben, C nach unten. Bei Proportionalität jedoch werden die beiden vertauscht, also C nach oben und A nach unten.

Hast Du dann auch mehrere Komponenten, müssen alle Paare mit dem Paar in Verbindung gebracht werden, in dem das X steckt.
Bei

A = B = C
D = E = X

wird also erst einmal verglichen, ob B und E antiproportional oder proportional zu C und X stehen und dann A und D zu C und X.
Angenommen, B und E sind antiproportional zu C und X, dann kommt X einfach auf die andere Seite des Gleichheitszeichens, C kommt sowieso auf den Bruchstrich und B ebenfalls, aber E unter den Bruchstrich. Es ergibt sich also

B * C

X = --------

E

Jetzt kommen A und D dazu. Angenommen, die sind proportional zu C und X, also müssen sie dann umgekehrt in den Bruch eingefügt werden.

Daraus ergibt sich dann

D * B * C

X = -------------

A * E

[newbieman]

Hallo Hidden Evil, danke für deine Mühe und unendliche Geduld, du wärst ja der Super - Mathelehrer für Tini. Nun muss ich bloß noch sehen, wie ich das Tini alles erklären kann. Gruß Hagen

[Madame]

ich mag das einfach auch noch mal explizit sagen:
Deine Hilfe - Hidden Evil - ist eimpfach Klasse!

[newbieman]

Hallo vielen Dank noch einmal für die Hilfe. Was mich mal noch interessieren würde, wie kann ich Tini beibringen was denn proportional und antiproportional ist. Ich habe da auch ein wenig Probleme das zu erkennen. Es leuchtet mir schon hier bei dem Beispiel ein, aber bei anderen Aufgaben hätte ich dann wohl Probleme, das herauszubekommen. Man könnte ja auch sagen, mal ganz dumm gesprochen, 20 und 25 Arbeiter sind auch proportional.
Tini hat das nun in der Schule so gerechnet:
25 A 7h/d 8000m² 32d
20 A 8h/d 12000m² ?
1 A pro Stunde wieviel m²
25 A arbeiten 32 Tage also 224 Stunden, daraus folgt:
8000m²: 224h= 36m² 36m²:24A=1,4m² pro Arbeiter pro Stunde
Daraus folgt wiederum: 12000m²: 224= 53,57 - wieso man die letzte Zeile so rechnet - ist mir ein völliges Rätsel. Vielleicht hat jemand eine Idee, will aber auch nicht nerven. Gruß Hagen

[FreeCmdFriend]

Antiproportionalität kann immer dann ins Spiel kommen, wenn die Zeit eine Rolle spielt, je nach Frage-/Aufgabenstellung. Ich versuche Mal ein einfaches Beispiel für den Fall Antiproportionalität darzustellen und hoffe nicht zu viel Verwirrung zu stiften.

Eine Mitarbeiter soll eine Aufgabe für seinen Chef erledigen. Der Chef fragt seinen erfahrenen Mitarbeiter wie viel Aufwand es erfordert diese Aufgabe abzuschließen. Daraufhin antwortet der MA, dass der Aufwand für ihn 8 Arbeitsstunden beträgt, also einen gesamten Arbeitstag mit 8 Stunden.
Daraufhin antwortet der Chef aber seinem Mitarbeiter, dass die Aufgabe dringend in einer Stunde erledigt sein muss und es entsteht ein Problem zwischen den beiden.
Viele Chefs denken dann, dass das Problem (in der Theorie) gelöst werden kann und die Aufgabe in 1 Stunde erledigt ist, wenn insgesamt 8 Mitarbeiter an dieser Aufgabe arbeiten (was allerdings in der Praxis selten funktioniert). Soweit der Text - nun das ganze in die Sprache der Mathematik übersetzt:

Umgangssprachlich formuliert:
1 MA benötigt einen Zeitraum von 8 Stunden und In einem Zeitraum von 1 Stunde können 8 MA die Aufgabe erledigen.

Als mathematische Verhältnisgleichung aufgestellt:
MA1 : T1 = T2 : MA2 kann auch geschrieben werden als: MA1/T1 = T2/MA2

Das Verhältnis auf der rechten Seite des "="-Zeichens verdreht, wegen der Antiproportionalität, d.h. das Verhältnis der Anzahl der MA bezogen zur Zeitdauer verhält sich antiproportional; mehr MA --> kürzere Dauer.

Weil man die Anzahl der Mitarbeiter (MA2) errechnen möchte, die die Aufgabe in kürzerer Zeit erledigen, wird die letzte Gleichung durch Multiplikation mit T1 und MA1 sowie Division durch MA1 auf beiden Seiten der Gleichung in den nachfolgenden Ausdruck umgerechnet: MA2 = T1 * T2 / MA1

Mit den Werten des obigen Beispiels, MA1 = 1, T1 = 8 und T2 = 1 sieht man sofort das formale Ergebnis für MA2 = 8.
Das funktioniert dann mit allem beliebig gewählten Werten ebenso, z.B. für MA1 = 2, T1 = 8 und T2 = 1 ==> MA2 = 4
(Zwei MA benötigen 8 Stunden, Die Frage lautet auch hier: Wie viele MA werden benötigt um die Aufgabe in 1 Stunde zu erledigen?)

(Je nach persönlicher Vorliebe können für die Aufgabe unterschiedliche Tätigkeiten als Beispiel herangezogen werden ...)

Der entscheidende Punkt an dem hier konstruierten Beispiel ist, dass der Aufwand um eine identische Aufgabe (welche auch immer) zu erledigen, in der Theorie immer gleich bleibt, unabhängig davon wie viele Menschen, Maschinen, Prozessoren daran arbeiten. In der Theorie sage ich deshalb, weil bei all diesen Überlegungen die Annahme gemacht wird, dass alle Agenten (Menschen, Maschinen, Prozessoren, ...) gleich gute / effiziente Arbeit leisten.

Das Stichwort Aufwand erleichtert uns möglicherweise bei einigen Aufgabenstellungen den Lösungsweg. Zum Beispiel aus dem vorhergehenden Beitrag dieses Threads ist bekannt, dass der Gesamtaufwand für die Erstellung eines Sportfelds von 8000 qm genau 5.600 Stunden beträgt (25 * 32 * 7 = 5600). Nun können wir auch fragen wie groß der Gesamtaufwand für die Erstellung eines Sportfeldes von 12.000 qm benötigt wird. Dabei verwenden wird eindeutig die folgende Proportionalitätsgleichung (da die neue Fläche um einen Faktor p =1,5 proportional größer ist):

8.000 m² : 5.600 h = 12000 m² : T2 oder auch: 8.000 m² / 5.600 h = 12.000 m² / T2
bzw: T2 = 12.000 m² * 5.600 h / 8.000 m² = 8.400 h

Aus dem Gesamtaufwand von 8.400 Stunden und den neuen Randbedingungen: 8 Arbeitsstunden / Tag und 20 Mitarbeitern erhalten wir das identische Ergebnis für die Dauer wie Hidden Evil es schon ermittelt hat, nämlich: 52,5 Tage. ( 8.400 h /(20 * 8 h/d ) = 52,5 d )

Fazit:
Proportionlitätsbeziehung: Der Aufwand steigt mit dem Proportionalitätsfaktor p hinsichtlich der Flächengröße (p = 1,5):
Aufwand(h) : Aufgabe (Flächengröße)
Antiproportionalitätsbeziehung: In kürzerer Zeitdauer kann dieselbe Aufgabe durch mehr Mitarbeiter erledigt werden (p = 1/8 bzw. p = 1/4):
Dauer (h) : Anzahl der Mitarbeiter (Aufgabe)

Die letzte Folgerung: 12.000 m²: 224 = 53,57 ist für mich nicht nachvollziehbar.und macht aus meiner Sicht keinen Sinn.

[newbieman]

Hallo vielen Dank für eure Mühe. Das finde ich ganz große Klasse und man kann es gar nicht oft genug sagen, das ist hier ein wirklich supergutes Forum - wie eine große Familie - einfach bitte nur weiter so. Wenn ich auch manchmal mein Fett wegbekomme, so fühle ich mich doch hier sauwohl.
Die Antworten muss ich erst mal in Ruhe lesen, bin im Augenblick viel zu ausgepowert. Gruß und Dank, ciao newbieman

[natt i nord]

25 Arbeiter sind täglich 7 Stunden tätig und stellen ein Sportfeld von 8000 m² in 32 Tagen fertig. In welcher Zeit können 20 Arbeiter 12 000 m² fertig stellen, wenn sie täglich 8 Stunden arbeiten?

Die ausführlichen Posts da oben hab ich gerade mal so gar nicht begriffen, deshalb hab ich jetzt mal ne blöde Frage - kann ich mir das mit der Aufgabe nicht theoretisch auch einfacher machen und einfach Dreisatz an Dreisatz aneinander reihen?
Nach dem Motto 25 Arbeiter brauchen 32 Tage für 8000qm, wenn sie täglich 7h schuften. Dann rechne ich aus, wie lange 20 Arbeiter brauchen würden, wenn die übrigen Gegebenheiten gleich bleiben. Mit dem Ergebnis rechne ich dann aus, wie lange 20 Arbeiter für 1200qm brauchen, wenn die anderen drei Gegebenheiten gleich bleiben, ich ändere also quasi einfach das nächste. Mit dem Ergebnis rechne ich dann noch die tägliche Arbeitszeit um und dann sollte ich doch auch das richtige Ergebnis haben, oder? Ich hab's jetzt nicht ausprobiert, aber nach meiner Logik sollte das doch so gehen.

Oder war das das, was Hidden oben gepostet hatte?